- Home
- Standard 11
- Physics
$m_1$ અને $m_2$ ના બે બિંદુવત દળને દઢ $L$ લંબાઈ અને નહિવત દળ ધરાવતા સળીયાના સામસામેના છેડે રાખવામાં આવેલાં છે. આ સળિયાને લંબરૂપે રહેલી અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરે છે. આ અક્ષ પર રહેલા બિંદુ $P$ નું એવું સ્થાન મેળવો કે જેના માટે સળિયો કોણીય વેગમાન ${\omega _0}$ થી પરિભ્રમણ કરે, ત્યારે જરૂરી કાર્ય ન્યુનતમ થાય?
$x= $$\frac{{{m_2}L}}{{{m_1} + {m_2}}}$
$x=$ $\frac{{{m_1}L}}{{{m_1} + {m_2}}}$
$x= $$\frac{{{m_1}L}}{{{m_2}}}$
$x=$$\frac{{{m_2}L}}{{{m_1}}}$
Solution
Moment of inertia of the system about the axis of rotation (through point $P$) is
$I = {m_1}{x^2} + {m_2}{\left( {L – x} \right)^2}$
By work energy theorem,
Work done to set the rod rotating with angular
velocity ${{\omega _0}}$ = Increase in rotational kinetic energy
$W = \frac{1}{2}I\omega _0^2 = \frac{1}{2}\left[ {{m_1}{x^2} + {m_2}{{\left( {L – x} \right)}^2}} \right]\omega _0^2$
For $W$ to be mimimum,$\frac{{dW}}{{dx}} = 0$
$i.e.,\,\frac{1}{2}\left[ {2{m_1}x + 2{m_2}\left( {L – x} \right)\left( { – 1} \right)} \right]\omega _0^2 = 0$
or ${m_1}x – {m_2}\left( {L – x} \right) = 0 ( {{\omega _0} \ne 0}$
or ${{m_1} + {m_2}} x = {m_2}L\,or\,x = \frac{{{m_2}L}} {{{m_1} + {m_2}}}$
